100-Mở rộng định lý Napoleon kết hợp với một lục giác

Mở rộng định lý Napoleon kết hợp với một lục giác:

Cho $ABCDEF$ là một lục giác bất kỳ, dựng ba tam giác đều $AGB$, $CHD$, $EIF$ cùng ra ngoài hoặc cùng vào trong(hình vẽ đính kèm là dựng ra ngoài). Ta gọi $A_1,B_1,C_1$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $FGC, BHE, DIA$ và $A_2,B_2,C_2$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $EGD, AHF, CIB$. Khi đó hai tam giác $A_1B_1C_1$ và $A_2B_2C_2$ là các tam giác đều và chúng thấu xạ.

 

The theorem found and proved by Dr.Paul Yiu and me

Let ABCDEF be a  hexagon, constructed three equilaterals $AGB, CHD, EIF$  all externally or internally (as in the figure).  Let $A_1,B_1,C_1$ be then the centroid of  $FGC, BHE, DIA$ respectively. Let $A_2,B_2,C_2$ be the centroid of  $EGD, AHF, CIB$ respectively. Then show that $A_1B_1C_1$, and $A_2B_2C_2$ form an equilateral triangle and them perpective.

Rõ ràng khi lục giác Suy biến thành một tam giác ta có định lý Napoleon.