63-Một tính chất quan trọng của hyperbol chữ nhật

Giới thiệu: Như ta đã biết luôn có một conic đi qua năm điểm phân biệt trên mặt phẳng. Nhưng với dấu hiệu nào ta có thể nhận ra đường conic là hyperbol,  ellipse, hoặc parabol? Trong bài viết này chỉ ra một dấu hiệu về tồn tại một Hyperbol chữ nhật qua năm điểm cho trước. Bài viết này là tổng quát của các vấn đề sau:

- Tổng quát của đường thẳng Droz-Farny,

- Tổng quát vấn đề 3878 trên tạp chí  Crux mathematicorum, issue 8, volum 39

- Tổng quát định lý về tương ứng vuông góc

Định lý 1: Cho $A,B,C,D,E$ nằm trên một đường hyperbol chữ nhật, ba đường thẳng qua $D$ và vuông góc với $EA,EB,EC$ giao với $BC,AC,AB$ lần lượt tại  $A_1,B_1,C_1$. Khi đó $A_1,B_1,C_1$ thẳng hàng và đường thẳng này vuông góc với $DE$.

                                         

Chứng minh:

Không giảm tổng quát, trong tọa độ Đề Các ta có thể giả sử đường hyperbol chữ nhật có phương trình là:

\begin{equation}y=\frac{p}{x} \end{equation}

(Lưu ý: Bất cứ đường hyperbol chữ nhật nào đều có thể đưa về dạng trên)

Và $A(a,\frac{p}{a})$, $B(b,\frac{p}{b})$, $C(c,\frac{p}{c})$, $D(d,\frac{p}{d})$, $E(e,\frac{p}{e})$. Phương trình đường thẳng qua  $D$ và vuông góc với $DA$ là:

\begin{equation}x-\frac{p}{a.e}y_{DA_1}=d-\frac{p^2}{e.a.d}\end{equation}

Tương tự phương trình đường thẳng $DB_1,DC_1$ là:

\begin{equation}x-\frac{p}{b.e}y_{DB_1}=d-\frac{p^2}{e.b.d}\end{equation}

\begin{equation}x-\frac{p}{c.e}y_{DA_1}=d-\frac{p^2}{e.c.d}\end{equation}

Phương trình đường thẳng  $BC,CA,AB$ lần lượt là:

\begin{equation}y_{BC}=-\frac{p}{c.b}x+\frac{p}{b}+\frac{p}{c}\end{equation}

\begin{equation}y_{CA}=-\frac{p}{c.a}x+\frac{p}{c}+\frac{p}{a}\end{equation}

\begin{equation}y_{BC}=-\frac{p}{a.b}x+\frac{p}{a}+\frac{b}{c}\end{equation}

Trong tọa độ điểm $A_1$ là nghiệm của phương trình (2) và (5).

$x-\frac{p}{a.e}y_{DA_1}=d-\frac{p^2}{e.a.d} \\ y_{BC}=-\frac{p}{c.b}x+\frac{p}{b}+\frac{p}{a}$  

Giải hệ phương trình tuyến tính hai ẩn ở trên ta có:

$x=\frac{d.c.p^2+d.b.p^2-c.b.p^2+e.a.c.b.d^2}{d.p^2+e.a.c.b.d} \\ y= \frac{e.a.c.p.d+e.a.b.p.d+p^3+e.a.p.d^2}{d.p^2+e.a.c.b.d}$ 

Do đó tọa độ điểm $A_1$ là:

$A_1(\frac{d.c.p^2+d.b.p^2-c.b.p^2+e.a.c.b.d^2}{d.p^2+e.a.c.b.d}, \frac{e.a.c.p.d+e.a.b.p.d+p^3-e.a.p.d^2}{d.p^2+e.a.c.b.d})$

Tương tự tọa độ các điểm $B_1,C_1$

$B_1(\frac{d.c.p^2+d.a.p^2-c.a.p^2+e.a.c.b.d^2}{d.p^2+e.a.c.b.d}, \frac{e.b.c.p.d+e.a.b.p.d+p^3-e.b.p.d^2}{d.p^2+e.a.c.b.d})$

$C_1(\frac{d.a.p^2+d.b.p^2-a.b.p^2+e.a.c.b.d^2}{d.p^2+e.a.c.b.d}, \frac{e.a.c.p.d+e.c.b.p.d+p^3-e.c.p.d^2}{d.p^2+e.a.c.b.d})$

$A_1,B_1,C_1$ thẳng hàng nếu và chỉ nếu: $\overrightarrow{A_1B_1}=k\overrightarrow{B_1C_1}$

$\overrightarrow{A_1B_1}=\frac{1}{d.p^2+e.a.c.b.d}(d.c.p^2+d.a.p^2-c.a.p^2+e.a.c.b.d^2-d.c.p^2-d.b.p^2 \\+ c.b.p^2-e.a.c.b.d^2 , e.b.c.p.d+e.a.b.p.d+p^3-e.b.p.d^2-e.a.c.p.d-e.a.b.p.d-p^3+e.a.p.d^2) \\ = \frac{1}{d.p^2+e.a.c.b.d}(d.a.p^2-c.a.p^2-d.b.p^2+c.b.p^2, e.b.c.p.d+e.b.p.d^2-e.a.c.p.d-c.a.p.d^2) \\ =\frac{(b-a)(c-d)p}{d.p^2+e.a.c.b.d}(p,ed)$

Tương tự như vậy chúng ta có:

$\overrightarrow{A_1C_1}=\frac{(c-a)(b-d)p}{d.p^2+e.a.c.b.d}(p, ed)$

$\Rightarrow$  \begin{equation}\overrightarrow{A_1B_1}= \frac{(b-a)(c-d)}{(c-a)(b-d)} \overrightarrow{A_1C_1}  \end{equation}

Do đo $A_1,B_1,C_1$ thẳng hàng. Hệ số góc của $DE$ là: $\frac{\frac{p}{e}-\frac{p}{d}}{e-d}=-\frac{p}{ed}$, hệ số góc của đường thẳng $\overline{A_1B_1C_1}$ là: $\frac{ed}{p}$. Do đó đường thẳng $\overline{A_1B_1C_1}$ vuông góc với đường thẳng $DE$. Định lý 1 chứng  hoàn tất.

Hệ quả 2 [1]:  Cho tam giác $ABC$, H là trực tâm, D là điểm bất kỳ trong mặt phẳng, ba đường thẳng qua $H$ và vuông góc với $DA,DB,DC$ giao với $BC,AC,AB$ lần lượt tại  $A_1,B_1,C_1$. Khi đó $A_1,B_1,C_1$ thẳng hàng và đường thẳng này vuông góc với $HD$.

Chứng minh:

Với điểm D bất kỳ thì A,B,C,H,D luôn nằm trên một hyperbol chữ nhật nên ta có điều phải chứng minh.

Hệ quả 3 [2]:  Cho tam giác $ABC$ và một điểm $P$ trên mặt phẳng, ba đường thẳng vuông góc với $PA,PB,PC$ tại $P$ lần lượt cắt ba cạnh $BC,CA,AB$ của tam giác tại $A_0,B_0,C_0$ thẳng hàng.

Chứng minh:

Với điểm P bất kỳ thì ta có 5 điểm A,B,C,P,P luôn nằm trên một hyperbol chữ nhật nên ta có điều phải chứng minh.

Định lý 4: Cho tam giác ABC, P,Q là hai điểm trên mặt phẳng sao 5 điểm A,B,C,P,Q nằm trền một hyperbol chữ nhật. Kẻ đường thẳng vuông góc AP qua Q, đường thẳng này cắt AB,AC tại $A_c,A_b$. Định nghĩa các điểm $B_a,B_c$,$ C_b,C_a$ tương tự. Khi đó sáu điểm $A_c,A_b, B_a,B_c$,$ C_b,C_a$ nằm trên một đường Conic.

Chứng minh:  Định lý 4 được chứng minh trực tiếp từ định lý 1 và định lý Pascal.

Tham khảo: 

[1]-Đào Thanh Oai, Vấn đề 3878 tạp chí Crux mathematicorum, issue 8, volum 39

[2]- Gibert, B. "Orthocorrespondence and Orthopivotal Cubics." Forum Geom. 3, 1-27, 2003. http://forumgeom.fau.edu/FG2003volume3/FG200301index.html.

Dao Thanh Oai: Kien Xuong, Thai Binh, Viet Nam.

Email address: daothanhoai@hotmail.com