25-Tổng quát định lý Brahmagupta

Một mở rộng định lý Brahmagupta

Đào Thanh Oai

Giới thiệu:

Trong bài báo này chúng tôi đưa ra  một mở rộng định lý nổi tiếng của Brahmagupta về tứ giác nội tiếp có hai đường tréo vuông góc.

Định lý (Brahmagupta):  Cho $ABCD$ là tứ giác nội tiếp có hai đường chéo vuông góc, đường thẳng nối trung điểm của một cạnh với giao điểm của hai đường chéo sẽ vuông góc với cạnh đối diện

Định lý mở rộng định lý Brahmagupta như sau:

Định lý: Dựng ra ngoài các cạnh AB,AC của tam giác $ABC$ hai tam giác $\triangle BAD$ và $\triangle CAE$,  sao cho $\angle DAB+\angle EAC=180^0$ và $BA.AE=CA.AD$. Gọi $F$,$I$  lần lượt là trung điểm của $DE$, $BC$. Gọi $IA$ giao với $DE$ tại  $G$. Gọi $K,M, P$ lần lượt là tâm của các đường tròn $(BAD),(FGI),(CAE)$, khi đó $\angle AGC=\angle CAE$ và $P$ là trung điểm của $KM$.

Chứng minh:

Đặt $\angle BAD=\varphi$; $\angle ABC=\alpha $; $\angle ACB=\beta $; $\angle ADE=\delta$;$\angle AED=\gamma$;$\angle GIB=\psi$; $\angle IGD=\theta$; Gọi $R_1,R_2$ là bán kính của các đường tròn $\triangle ABC$,$\triangle AED$.

Từ \begin{equation} BA.AE=CA.AD \end{equation}

Áp dụng định lý hàm số Sine ta có:

\begin{equation} 2R_1\sin\beta.2R_2 \sin\delta=2R_1\sin\alpha.2R_2\sin\gamma \end{equation}

\begin{equation}\sin\beta.\sin\delta = \sin\alpha .\sin\gamma  \end{equation}

$\Leftrightarrow$

\begin{equation}  \frac{sin\alpha }{sin \beta}=\frac{sin\delta }{sin\gamma }  \end{equation}

Tiếp tục áp dụng định luật hàm Sine số ta có:

\begin{equation} \frac{\sin(\alpha +\psi )}{\sin\alpha }=\frac{IB}{IA} \end{equation} và \begin{equation} \frac{\sin(\psi -\beta )}{\sin \beta}=\frac{IB}{IE}\end{equation}

Từ (4),(5) và (6) và $IB=IC$ $\Rightarrow$

\begin{equation} \frac{Sin(\alpha +\psi )}{sin(\psi -\beta )}=\frac{sin\alpha }{sin \beta}=\frac{sin\delta }{sin\gamma}\end{equation}

Từ tính chất các góc trong hai tứ giác $AGFD$ and $BGFC$ chúng ta có:

Từ (7) và  (a) $\Rightarrow$  \begin{equation} -\frac{\sin(\varphi- \theta-\delta )}{\sin(\varphi-\theta+\gamma )}=\frac{\sin\delta }{\sin\gamma }\end{equation}$\Leftrightarrow$

\begin{equation} - \frac{\sin(\varphi-\theta).\cos \delta-\cos(\varphi- \theta).\sin \delta}{\sin(\varphi-\theta).\cos \gamma+\cos(\varphi- \theta).\sin \gamma}=\frac{\sin\delta }{\sin\gamma }\end{equation}

\begin{equation}\sin(\varphi -\theta ).\cos\delta.\sin\gamma -\cos(\varphi -\theta ).\sin\delta.\sin\gamma =-\sin(\varphi-\theta ).\cos\gamma.\sin\delta -\cos(\varphi-\theta ).\sin\gamma.\sin\delta \end{equation} $\Leftrightarrow$

\begin{equation}\sin(\varphi -\theta ).\cos\delta.\sin\gamma =-\sin(\varphi-\theta ).\cos\gamma.\sin\delta \end{equation} $\Leftrightarrow$

\begin{equation}\sin(\varphi-\theta).\sin(\delta+\gamma)=0\end{equation}

$\Leftrightarrow$

Dễ dàng nhận thấy $\sin(\delta+\gamma) \neq 0$ nên $\varphi - \theta$ =0 $\Leftrightarrow$ $\angle GIB=\angle DAB$.

Ba tam giác cân  $\triangle BKD, \triangle IPF,\triangle CME$  là đồng dạng, do góc chắn bởi tâm đường tròn bằng hai lần góc chắn bởi điểm trên đường tròn đối với một dây cung.

Do $I$  là trung điểm của $BC$,  và $F$  là trung điểm của $DE$ do ba tam giác  $\triangle BKD,\triangle IPF, \triangle CME$ là đồng dạng nên theo định lý đảo của định lý ba tam giác đều đồng dạng cùng hường $P$ là trung điểm của  $KM $

Hệ quả: Cho tam giác $\triangle ABC$.  Dựng hai tam giác đồng dạng $\triangle BAX$ va $\triangle CAY$ bên ngoài các cạnh tam giác. $I$ trung điểm của $XY$,  khi đó $IA$ vuông góc $BC$.

Tài liệu tham khảo:

[1]-Eckart Schmidt, Yhoo Quadri-Figures-Group, messages, 274

[2]-http://mathworld.wolfram.com/FundamentalTheoremofDirectlySimilarFigures.html